Можно ли ездить без бампера?

Приложением к действующим на 2014 год Правилами Дорожного движения предусмотрен ПЕРЕЧЕНЬ НЕИСПРАВНОСТЕЙ И УСЛОВИЙ, ПРИ КОТОРЫХ ЗАПРЕЩАЕТСЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ.
Перечень включает требования к тормозной системе, рулевому управлению, внешним световым приборам, стеклоочистителям, колесам и шинам, двигателю и прочим элементам конструкции.
В частности, пункт 7.18 указывает:

Настоящий Перечень устанавливает неисправности автомобилей, автобусов, автопоездов, прицепов, мотоциклов, мопедов, тракторов, других самоходных машин и условия, при которых запрещается их эксплуатация.

7.18. В конструкцию транспортного средства внесены изменения без разрешения Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации или иных органов, определяемых Правительством Российской Федерации.

Бампера являются системой пассивной безопасности, они предусмотрены конструкцией любого автомобиля. Поэтому снятие бампера с автомобиля является изменением его конструкции, и эксплуатировать такой автомобиль нельзя.
Также нельзя передвигаться на автомобиле с неисправным глушителем, системой подачи топлива, разными шинами на одной оси  и многими другими неисправностями.